La palabra trigonometría viene del griego: Trigonon: triángulo, Metría: medida.
Hiparco y Tolomeo crearon esta rama de las matemáticas y su primera presentación se encuentra en El Almagesto.Con el uso de la trigonometría calcularon tamaños y distancias de cuerpos celestes.
Las definiciones y demostraciones que se utilizan actualmente no difieren mucho de las propuestas por ellos.
y 
, 
, entonces 
, por el criterio AAA los triángulos son semejantes y por lo tanto las razones entre las medidas de los lados correspondientes son iguales. 
Cada una recibe un nombre especial:
Definición 5.2.1.
Note que estos valores no dependen de la longitud de los lados sino de la medida del ángulo.
Si en los triángulos rectángulos:
y 
, 
, entonces: 
Ejemplo 5.2. Los matemáticos griegos y el ingeniero Heron mostraron cómo se puede construir un túnel bajo una montaña trabajando en los dos lados simultáneamente. Eligieron un punto
en un lado, un punto 
en el otro y finalmente un punto 
tal que la medida del ángulo 
fuera de 
. Después midieron 
y 
y encontraron que sus longitudes eran 100metros y 75 metros respectivamente.Ahora, dijo Heron, es posible encontrar la medida de los ángulos
y 
. Entonces instruyó al trabajador ubicado en 
para que siguiera una línea recta que conservara el ángulo calculado con 
y dio instrucciones análogas al trabajador en 
. ¿Cómo calculó estos dos ángulos? 
: 
y calculando la tangente del ángulo en B: 
. Ejemplo 5.3. Sara está volando una cometa y tiene sus manos a 5 metros por encima del piso. Si la cometa está a 200 metros arriba del suelo, y la cuerda de la cometa forma un ángulo de
con la horizontal, ¿ Cuántos metros de cuerda está utilizando?Solución: Para encontrar la longitud de la cuerda utilizamos el siguiente esquema:
. Haciendo uso de la definición de seno de un ángulo en un triángulo rectángulo:
, entonces: 
es aproximadamente igual a 363 metros. Ejemplo 5.4. Una trayectoria recta que sube una colina se eleva 26 metros por cada 100 metros horizontales. Qué ángulo forma con la horizontal?
Solución: La gráfica muestra la situación que se presenta durante los primeros 100 metros horizontales:
Ejemplo 5.5. Un automovilista que circula por una carretera a una velocidad de 60 Km/h va directamente hacia una montaña. Observa que entre la 1:00 p.m. y la 1:10 p.m., el ángulo de elevación de la montaña cambia de
a 
. Calcular la altura de la montaña.Solución:
es la distancia que el automovilista ha recorrido en 10 minutos. Como recorre 60 Km en una hora, se habrá desplazado 10 Km en 10 minutos, así 
. 
, despejando de la ecuación (1. Por definición de tangente:
; Así, 
. Por lo tanto
La altura de la montaña es 1.9 Km
Hagamos un alto para razonar y aplicar:
1- El ingeniero Jorge quiere construir un túnel, trabajando, eligió un punto
en un lado, un punto en el otro y finalmente un punto tal que la medida del ángulo fuera de . Después midio y y encontró que sus longitudes eran 75metros y 50 metros respectivamente. Ahora, dijo Jorge, es posible encontrar la medida de los ángulos y . Entonces ubicado a su y amigo Marcelo en para que siguiera una línea recta que conservara el ángulo calculado con y dio instrucciones análogas a otro amigo en . ¿Cómo calculó estos dos ángulos?2- Una trayectoria recta que sube una colina se eleva 57 metros por cada 75 metros horizontales. Qué ángulo forma con la horizontal?
3- Un automovilista que circula por una carretera a una velocidad de 80Km/h va directamente hacia una montaña. Observa que entre la 1:00 p.m. y la 1:10 p.m., el ángulo de elevación de la montaña cambia de
a . Calcular la altura de la montaña.
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