miércoles, 21 de septiembre de 2011

Desde la antiguedad.....

Trigonometría de Triángulos Rectángulos En la antigüedad (alrededor del año 100 A.C), para resolver problemas de astronomía, navegación y geografía, fueron utilizadas relaciones entre lados y ángulos de un triángulo rectángulo, estos trabajos dieron origen a la trigonometría.
La palabra trigonometría viene del griego: Trigonon: triángulo, Metría: medida.
Hiparco y Tolomeo crearon esta rama de las matemáticas y su primera presentación se encuentra en El Almagesto.Con el uso de la trigonometría calcularon tamaños y distancias de cuerpos celestes.
Las definiciones y demostraciones que se utilizan actualmente no difieren mucho de las propuestas por ellos.
En los triángulos rectángulos $\triangle ACB$ y MATH, MATH , entonces
MATH , por el criterio AAA los triángulos son semejantes y por lo tanto las razones entre las medidas de los lados correspondientes son iguales.
MATH
Cada una recibe un nombre especial:
Definición 5.2.1. MATH
Note que estos valores no dependen de la longitud de los lados sino de la medida del ángulo.
Si en los triángulos rectángulos: $\triangle ACB$ y MATH, MATH, entonces:
MATH
Ejemplo 5.2. Los matemáticos griegos y el ingeniero Heron mostraron cómo se puede construir un túnel bajo una montaña trabajando en los dos lados simultáneamente. Eligieron un punto $A$ en un lado, un punto $B$ en el otro y finalmente un punto $C$ tal que la medida del ángulo $\angle ACB$ fuera de $90^{\circ }$. Después midieron $AC$ y $BC$ y encontraron que sus longitudes eran 100metros y 75 metros respectivamente.
Ahora, dijo Heron, es posible encontrar la medida de los ángulos $\angle A$ y $\angle B$. Entonces instruyó al trabajador ubicado en $A$ para que siguiera una línea recta que conservara el ángulo calculado con $AC$ y dio instrucciones análogas al trabajador en $B$. ¿Cómo calculó estos dos ángulos?
Solución: Encontrando la tangente del ángulo en $A$: MATH y calculando la tangente del ángulo en B: MATH.
Ejemplo 5.3. Sara está volando una cometa y tiene sus manos a 5 metros por encima del piso. Si la cometa está a 200 metros arriba del suelo, y la cuerda de la cometa forma un ángulo de $32.4^{\circ }$ con la horizontal, ¿ Cuántos metros de cuerda está utilizando?
Solución: Para encontrar la longitud de la cuerda utilizamos el siguiente esquema:
Debe hallarse el valor de $b$.
Haciendo uso de la definición de seno de un ángulo en un triángulo rectángulo:
MATH, entonces: MATH
$b$ es aproximadamente igual a 363 metros.
Ejemplo 5.4. Una trayectoria recta que sube una colina se eleva 26 metros por cada 100 metros horizontales. Qué ángulo forma con la horizontal?
Solución: La gráfica muestra la situación que se presenta durante los primeros 100 metros horizontales:
Como el valor de las razones trigonométricas no depende de la longitud de los lados que se consideran, basta con utilizar como medidas, los 100 metros horizontales y los 26 metros verticales iniciales.
MATH
Ejemplo 5.5. Un automovilista que circula por una carretera a una velocidad de 60 Km/h va directamente hacia una montaña. Observa que entre la 1:00 p.m. y la 1:10 p.m., el ángulo de elevación de la montaña cambia de $10^{\circ }$ a $70^{\circ }$. Calcular la altura de la montaña.
Solución:
MATH
$x$ es la distancia que el automovilista ha recorrido en 10 minutos. Como recorre 60 Km en una hora, se habrá desplazado 10 Km en 10 minutos, así $x=10$.
MATH, despejando de la ecuación (1.
Por definición de tangente: MATH; Así, MATH.
Por lo tanto MATH
La altura de la montaña es 1.9 Km

Hagamos un alto para razonar y aplicar:

1- El ingeniero Jorge quiere construir un túnel, trabajando, eligió un punto $A$ en un lado, un punto $B$ en el otro y finalmente un punto $C$ tal que la medida del ángulo $\angle ACB$ fuera de $90^{\circ }$. Después midio $AC$ y $BC$ y encontró que sus longitudes eran 75metros y 50 metros respectivamente. Ahora, dijo Jorge, es posible encontrar la medida de los ángulos $\angle A$ y $\angle B$. Entonces ubicado a su y amigo Marcelo en $A$ para que siguiera una línea recta que conservara el ángulo calculado con $AC$ y dio instrucciones análogas a otro amigo en $B$. ¿Cómo calculó estos dos ángulos?

2- Una trayectoria recta que sube una colina se eleva 57 metros por cada 75 metros horizontales. Qué ángulo forma con la horizontal?

3- Un automovilista que circula por una carretera a una velocidad de 80Km/h va directamente hacia una montaña. Observa que entre la 1:00 p.m. y la 1:10 p.m., el ángulo de elevación de la montaña cambia de $10^{\circ }$ a $70^{\circ }$. Calcular la altura de la montaña.