jueves, 10 de noviembre de 2011
jueves, 29 de septiembre de 2011
miércoles, 28 de septiembre de 2011
miércoles, 21 de septiembre de 2011
Desde la antiguedad.....
Trigonometría de Triángulos Rectángulos En la antigüedad (alrededor del año 100 A.C), para resolver problemas de astronomía, navegación y geografía, fueron utilizadas relaciones entre lados y ángulos de un triángulo rectángulo, estos trabajos dieron origen a la trigonometría.
La palabra trigonometría viene del griego: Trigonon: triángulo, Metría: medida.
Hiparco y Tolomeo crearon esta rama de las matemáticas y su primera presentación se encuentra en El Almagesto.Con el uso de la trigonometría calcularon tamaños y distancias de cuerpos celestes.
Las definiciones y demostraciones que se utilizan actualmente no difieren mucho de las propuestas por ellos.
En los triángulos rectángulos 
y 
, 
, entonces
, por el criterio AAA los triángulos son semejantes y por lo tanto las razones entre las medidas de los lados correspondientes son iguales.
Cada una recibe un nombre especial:
Definición 5.2.1.
Note que estos valores no dependen de la longitud de los lados sino de la medida del ángulo.
Si en los triángulos rectángulos:
y 
, 
, entonces:
Ejemplo 5.2. Los matemáticos griegos y el ingeniero Heron mostraron cómo se puede construir un túnel bajo una montaña trabajando en los dos lados simultáneamente. Eligieron un punto
en un lado, un punto 
en el otro y finalmente un punto 
tal que la medida del ángulo 
fuera de 
. Después midieron 
y 
y encontraron que sus longitudes eran 100metros y 75 metros respectivamente.
Ahora, dijo Heron, es posible encontrar la medida de los ángulos
y 
. Entonces instruyó al trabajador ubicado en 
para que siguiera una línea recta que conservara el ángulo calculado con 
y dio instrucciones análogas al trabajador en 
. ¿Cómo calculó estos dos ángulos?
Solución: Encontrando la tangente del ángulo en 
: 
y calculando la tangente del ángulo en B: 
.
Ejemplo 5.3. Sara está volando una cometa y tiene sus manos a 5 metros por encima del piso. Si la cometa está a 200 metros arriba del suelo, y la cuerda de la cometa forma un ángulo de
con la horizontal, ¿ Cuántos metros de cuerda está utilizando?
Solución: Para encontrar la longitud de la cuerda utilizamos el siguiente esquema:
Debe hallarse el valor de 
.
Haciendo uso de la definición de seno de un ángulo en un triángulo rectángulo:
, entonces: 
es aproximadamente igual a 363 metros.
Ejemplo 5.4. Una trayectoria recta que sube una colina se eleva 26 metros por cada 100 metros horizontales. Qué ángulo forma con la horizontal?
Solución: La gráfica muestra la situación que se presenta durante los primeros 100 metros horizontales:
Como el valor de las razones trigonométricas no depende de la longitud de los lados que se consideran, basta con utilizar como medidas, los 100 metros horizontales y los 26 metros verticales iniciales.
Ejemplo 5.5. Un automovilista que circula por una carretera a una velocidad de 60 Km/h va directamente hacia una montaña. Observa que entre la 1:00 p.m. y la 1:10 p.m., el ángulo de elevación de la montaña cambia de
a 
. Calcular la altura de la montaña.
Solución:
es la distancia que el automovilista ha recorrido en 10 minutos. Como recorre 60 Km en una hora, se habrá desplazado 10 Km en 10 minutos, así 
.
, despejando de la ecuación (1.
Por definición de tangente:
; Así, 
.
Por lo tanto
La altura de la montaña es 1.9 Km
Hagamos un alto para razonar y aplicar:
1- El ingeniero Jorge quiere construir un túnel, trabajando, eligió un punto en un lado, un punto en el otro y finalmente un punto tal que la medida del ángulo fuera de . Después midio y y encontró que sus longitudes eran 75metros y 50 metros respectivamente. Ahora, dijo Jorge, es posible encontrar la medida de los ángulos y . Entonces ubicado a su y amigo Marcelo en para que siguiera una línea recta que conservara el ángulo calculado con y dio instrucciones análogas a otro amigo en . ¿Cómo calculó estos dos ángulos?
2- Una trayectoria recta que sube una colina se eleva 57 metros por cada 75 metros horizontales. Qué ángulo forma con la horizontal?
3- Un automovilista que circula por una carretera a una velocidad de 80Km/h va directamente hacia una montaña. Observa que entre la 1:00 p.m. y la 1:10 p.m., el ángulo de elevación de la montaña cambia de a . Calcular la altura de la montaña.
La palabra trigonometría viene del griego: Trigonon: triángulo, Metría: medida.
Hiparco y Tolomeo crearon esta rama de las matemáticas y su primera presentación se encuentra en El Almagesto.Con el uso de la trigonometría calcularon tamaños y distancias de cuerpos celestes.
Las definiciones y demostraciones que se utilizan actualmente no difieren mucho de las propuestas por ellos.
y , , entonces , por el criterio AAA los triángulos son semejantes y por lo tanto las razones entre las medidas de los lados correspondientes son iguales. Cada una recibe un nombre especial:
Definición 5.2.1.
Note que estos valores no dependen de la longitud de los lados sino de la medida del ángulo.
Si en los triángulos rectángulos:
y , , entonces: Ejemplo 5.2. Los matemáticos griegos y el ingeniero Heron mostraron cómo se puede construir un túnel bajo una montaña trabajando en los dos lados simultáneamente. Eligieron un punto
en un lado, un punto en el otro y finalmente un punto tal que la medida del ángulo fuera de . Después midieron y y encontraron que sus longitudes eran 100metros y 75 metros respectivamente.Ahora, dijo Heron, es posible encontrar la medida de los ángulos
y . Entonces instruyó al trabajador ubicado en para que siguiera una línea recta que conservara el ángulo calculado con y dio instrucciones análogas al trabajador en . ¿Cómo calculó estos dos ángulos? : y calculando la tangente del ángulo en B: . Ejemplo 5.3. Sara está volando una cometa y tiene sus manos a 5 metros por encima del piso. Si la cometa está a 200 metros arriba del suelo, y la cuerda de la cometa forma un ángulo de
con la horizontal, ¿ Cuántos metros de cuerda está utilizando?Solución: Para encontrar la longitud de la cuerda utilizamos el siguiente esquema:
. Haciendo uso de la definición de seno de un ángulo en un triángulo rectángulo:
, entonces: es aproximadamente igual a 363 metros. Ejemplo 5.4. Una trayectoria recta que sube una colina se eleva 26 metros por cada 100 metros horizontales. Qué ángulo forma con la horizontal?
Solución: La gráfica muestra la situación que se presenta durante los primeros 100 metros horizontales:
Ejemplo 5.5. Un automovilista que circula por una carretera a una velocidad de 60 Km/h va directamente hacia una montaña. Observa que entre la 1:00 p.m. y la 1:10 p.m., el ángulo de elevación de la montaña cambia de
a . Calcular la altura de la montaña.Solución:
es la distancia que el automovilista ha recorrido en 10 minutos. Como recorre 60 Km en una hora, se habrá desplazado 10 Km en 10 minutos, así . , despejando de la ecuación (1. Por definición de tangente:
; Así, . Por lo tanto
La altura de la montaña es 1.9 Km
Hagamos un alto para razonar y aplicar:
1- El ingeniero Jorge quiere construir un túnel, trabajando, eligió un punto
en un lado, un punto en el otro y finalmente un punto tal que la medida del ángulo fuera de . Después midio y y encontró que sus longitudes eran 75metros y 50 metros respectivamente. Ahora, dijo Jorge, es posible encontrar la medida de los ángulos y . Entonces ubicado a su y amigo Marcelo en para que siguiera una línea recta que conservara el ángulo calculado con y dio instrucciones análogas a otro amigo en . ¿Cómo calculó estos dos ángulos?2- Una trayectoria recta que sube una colina se eleva 57 metros por cada 75 metros horizontales. Qué ángulo forma con la horizontal?
3- Un automovilista que circula por una carretera a una velocidad de 80Km/h va directamente hacia una montaña. Observa que entre la 1:00 p.m. y la 1:10 p.m., el ángulo de elevación de la montaña cambia de
a . Calcular la altura de la montaña.
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